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Valeurs propres et vecteurs propres de $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$

La calculatrice trouvera les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice carrée $$$2$$$x$$$2$$$ $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$, en montrant les étapes.

Calculatrice associée: Calculatrice de polynôme caractéristique

A

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Votre saisie

Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$.

Solution

Commencez par former une nouvelle matrice en soustrayant $$$\lambda$$$ aux éléments de la diagonale de la matrice donnée : $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right]$$$.

Le déterminant de la matrice obtenue est $$$\frac{\left(\lambda - 1\right) \left(2 \lambda - 1\right)}{2}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de déterminant).

Résoudre l’équation $$$\frac{\left(\lambda - 1\right) \left(2 \lambda - 1\right)}{2} = 0$$$.

Les racines sont $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{1}{2}$$$ (pour les étapes, voir solveur d'équations).

Ce sont les valeurs propres.

Ensuite, trouvez les vecteurs propres.

  • $$$\lambda = 1$$$

    $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{1}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & - \frac{3}{10}\end{array}\right]$$$

    L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

    C'est le vecteur propre.

  • $$$\lambda = \frac{1}{2}$$$

    $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{10} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

    L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

    C'est le vecteur propre.

Réponse

Valeur propre : $$$1$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1.5\\1\end{array}\right]$$$A.

Valeur propre : $$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.


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