Calculatrice de la composante tangentielle de l’accélération
Trouvez la composante tangentielle de l'accélération étape par étape
La calculatrice déterminera la composante tangentielle de l'accélération pour l'objet décrit par la fonction à valeurs vectorielles au point donné, en affichant les étapes.
Calculatrices associées: Calculatrice de courbure, Calculatrice de la composante normale de l’accélération
Votre saisie
Trouvez la composante tangentielle de l’accélération pour $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle$$$.
Solution
Trouvez la dérivée de $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$ : $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 2 t, 3 t^{2}\right\rangle$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivée).
Trouvez la norme de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$ : $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de norme).
Trouvez la dérivée de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$ : $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 2, 6 t\right\rangle$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivée).
Calculez le produit scalaire : $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = 18 t^{3} + 4 t$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de produit scalaire).
Enfin, la composante tangentielle de l’accélération est $$$a_T\left(t\right) = \frac{\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}} = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}.$$$
Réponse
La composante tangentielle de l’accélération est $$$a_T\left(t\right) = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}$$$A.