Courbure de r⃗(x) = ⟨x, x^2, 0⟩

La calculatrice trouvera la courbure de $$$\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle$$$, avec les étapes affichées.

Calculatrices associées: Calculatrice du vecteur binormal unitaire, Calculatrice de torsion

$$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$:$$$\langle$$$

,

$$$\rangle$$$

Si vous avez une fonction explicite $$$y = f{\left(x \right)}$$$, saisissez-la comme $$$x$$$, $$$f{\left(x \right)}$$$, $$$0$$$. Par exemple, la courbure de $$$y = x^{2}$$$ peut être trouvée ici.

Point $$$t$$$:

Laissez vide si vous n'avez pas besoin de la courbure en un point précis.

Si le calculateur n'a pas pu calculer quelque chose, si vous avez identifié une erreur, ou si vous avez une suggestion ou un commentaire, veuillez nous contacter.

Votre saisie

Trouvez la courbure de $$$\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle$$$.

Solution

Trouvez la dérivée de $$$\mathbf{\vec{r}\left(x\right)}$$$ : $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)} = \left\langle 1, 2 x, 0\right\rangle$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivée).

Trouvez la norme de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}$$$ : $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\right\rvert} = \sqrt{4 x^{2} + 1}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de norme).

Trouvez la dérivée de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}$$$ : $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)} = \left\langle 0, 2, 0\right\rangle$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivée).

Calculez le produit vectoriel : $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)} = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle$$$ (pour les étapes, voir calculateur de produit vectoriel).

Trouvez la norme de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}$$$ : $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}\right\rvert} = 2$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de norme).

Enfin, la courbure est $$$\kappa\left(x\right) = \frac{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}\right\rvert}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\right\rvert}^{3}} = \frac{2}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}.$$$

Réponse

La courbure est $$$\kappa\left(x\right) = \frac{2}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$$A.

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Courbure de $$$\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle$$$

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Solution

Réponse