Convertir $$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$ en coordonnées cartésiennes

Convertissez $$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$ en coordonnées cartésiennes.

Appliquez la formule $$$\cos{\left(3 \alpha \right)} = \cos^{3}{\left(\alpha \right)} - 3 \sin^{2}{\left(\alpha \right)} \cos{\left(\alpha \right)}$$$ avec $$$\alpha = \theta$$$ : $$$16 r = - 3 \sin^{2}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)} + \cos^{3}{\left(\theta \right)}$$$.

À partir de $$$x = r \cos{\left(\theta \right)}$$$ et $$$y = r \sin{\left(\theta \right)}$$$, on a $$$\cos{\left(\theta \right)} = \frac{x}{r}$$$, $$$\sin{\left(\theta \right)} = \frac{y}{r}$$$, $$$\tan{\left(\theta \right)} = \frac{y}{x}$$$ et $$$\cot{\left(\theta \right)} = \frac{x}{y}$$$.

L'entrée devient $$$16 r = \frac{x^{3}}{r^{3}} - \frac{3 x y^{2}}{r^{3}}$$$.

Simplifier : l'entrée est maintenant de la forme $$$16 r^{4} - x^{3} + 3 x y^{2} = 0$$$.

En coordonnées rectangulaires, $$$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$$ et $$$\theta = \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{x} \right)}$$$.

Ainsi, l’entrée peut être réécrite sous la forme $$$- x^{3} + 3 x y^{2} + 16 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2} = 0$$$.

$$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$A en coordonnées cartésiennes est $$$- x^{3} + 3 x y^{2} + 16 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2} = 0$$$A.