Intégrale de $$$x \left(1 - x\right)^{n}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int x \left(1 - x\right)^{n}\, dx$$$.

Cette intégrale n’admet pas de forme fermée :

$${\color{red}{\int{x \left(1 - x\right)^{n} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{x^{2} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} 2, - n \\ 3 \end{matrix}\middle| {x} \right)}}{2}\right)}}$$

Par conséquent,

$$\int{x \left(1 - x\right)^{n} d x} = \frac{x^{2} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} 2, - n \\ 3 \end{matrix}\middle| {x} \right)}}{2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{x \left(1 - x\right)^{n} d x} = \frac{x^{2} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} 2, - n \\ 3 \end{matrix}\middle| {x} \right)}}{2}+C$$

$$$\int x \left(1 - x\right)^{n}\, dx = \frac{x^{2} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} 2, - n \\ 3 \end{matrix}\middle| {x} \right)}}{2} + C$$$A