Intégrale de $$$\tan{\left(x \right)}$$$

Déterminez $$$\int \tan{\left(x \right)}\, dx$$$.

Réécrivez la tangente sous la forme $$$\tan\left(x\right)=\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\tan{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} d x}}}$$

Soit $$$u=\cos{\left(x \right)}$$$.

Alors $$$du=\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = - \sin{\left(x \right)} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\sin{\left(x \right)} dx = - du$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ :

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=\cos{\left(x \right)}$$$ :

$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\cos{\left(x \right)}}}}\right| \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\tan{\left(x \right)} d x} = - \ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\tan{\left(x \right)} d x} = - \ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \tan{\left(x \right)}\, dx = - \ln\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|\right) + C$$$A