Intégrale de $$$\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int \frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=k$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x}}} = {\color{red}{k \int{\frac{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x}}}$$

Soit $$$u=\frac{x}{k}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{x}{k}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{k}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = k du$$$.

Par conséquent,

$$k {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x}}} = k {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}$$

Cette intégrale (Intégrale sinus) n’admet pas de forme fermée :

$$k {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}} = k {\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{x}{k}$$$ :

$$k \operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)} = k \operatorname{Si}{\left({\color{red}{\frac{x}{k}}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x} = k \operatorname{Si}{\left(\frac{x}{k} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x} = k \operatorname{Si}{\left(\frac{x}{k} \right)}+C$$

$$$\int \frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}\, dx = k \operatorname{Si}{\left(\frac{x}{k} \right)} + C$$$A