Intégrale de $$$\sin{\left(n x \right)}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int \sin{\left(n x \right)}\, dx$$$.

Soit $$$u=n x$$$.

Alors $$$du=\left(n x\right)^{\prime }dx = n dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{n}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{\sin{\left(n x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{n} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{n}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{n} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{n}}}$$

L’intégrale du sinus est $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{n} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{n}$$

Rappelons que $$$u=n x$$$ :

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{n} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{n x}} \right)}}{n}$$

Par conséquent,

$$\int{\sin{\left(n x \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(n x \right)}}{n}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\sin{\left(n x \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(n x \right)}}{n}+C$$

$$$\int \sin{\left(n x \right)}\, dx = - \frac{\cos{\left(n x \right)}}{n} + C$$$A