Intégrale de $$$\sin{\left(2 x \right)}$$$

Déterminez $$$\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$$.

Soit $$$u=2 x$$$.

Alors $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

L’intégrale du sinus est $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{2}$$

Rappelons que $$$u=2 x$$$ :

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{\sin{\left(2 x \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\sin{\left(2 x \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx = - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + C$$$A