Intégrale de $$$\ln^{2}\left(x\right)$$$

Déterminez $$$\int \ln^{2}\left(x\right)\, dx$$$.

Pour l’intégrale $$$\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}^{2}$$$ et $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}^{2}\right)^{\prime }dx=\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} dx$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)}^{2} \cdot x-\int{x \cdot \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)}^{2} - \int{2 \ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$ :

$$x \ln{\left(x \right)}^{2} - {\color{red}{\int{2 \ln{\left(x \right)} d x}}} = x \ln{\left(x \right)}^{2} - {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ et $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

L’intégrale devient

$$x \ln{\left(x \right)}^{2} - 2 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}=x \ln{\left(x \right)}^{2} - 2 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=x \ln{\left(x \right)}^{2} - 2 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, dx = c x$$$ avec $$$c=1$$$:

$$x \ln{\left(x \right)}^{2} - 2 x \ln{\left(x \right)} + 2 {\color{red}{\int{1 d x}}} = x \ln{\left(x \right)}^{2} - 2 x \ln{\left(x \right)} + 2 {\color{red}{x}}$$

Par conséquent,

$$\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x} = x \ln{\left(x \right)}^{2} - 2 x \ln{\left(x \right)} + 2 x$$

Simplifier:

$$\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)}^{2} - 2 \ln{\left(x \right)} + 2\right)$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)}^{2} - 2 \ln{\left(x \right)} + 2\right)+C$$

$$$\int \ln^{2}\left(x\right)\, dx = x \left(\ln^{2}\left(x\right) - 2 \ln\left(x\right) + 2\right) + C$$$A