Intégrale de $$$e^{x y}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int e^{x y}\, dx$$$.

Soit $$$u=x y$$$.

Alors $$$du=\left(x y\right)^{\prime }dx = y dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{y}$$$.

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{e^{x y} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{y} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{y}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{y} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{y}}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{y} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{y}$$

Rappelons que $$$u=x y$$$ :

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{y} = \frac{e^{{\color{red}{x y}}}}{y}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{x y} d x} = \frac{e^{x y}}{y}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{x y} d x} = \frac{e^{x y}}{y}+C$$

$$$\int e^{x y}\, dx = \frac{e^{x y}}{y} + C$$$A