Intégrale de $$$e^{\frac{x}{2}} - 2$$$

Déterminez $$$\int \left(e^{\frac{x}{2}} - 2\right)\, dx$$$.

Intégrez terme à terme:

$${\color{red}{\int{\left(e^{\frac{x}{2}} - 2\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{2 d x} + \int{e^{\frac{x}{2}} d x}\right)}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, dx = c x$$$ avec $$$c=2$$$:

$$\int{e^{\frac{x}{2}} d x} - {\color{red}{\int{2 d x}}} = \int{e^{\frac{x}{2}} d x} - {\color{red}{\left(2 x\right)}}$$

Soit $$$u=\frac{x}{2}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = 2 du$$$.

Par conséquent,

$$- 2 x + {\color{red}{\int{e^{\frac{x}{2}} d x}}} = - 2 x + {\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$- 2 x + {\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}} = - 2 x + {\color{red}{\left(2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- 2 x + 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 2 x + 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{x}{2}$$$ :

$$- 2 x + 2 e^{{\color{red}{u}}} = - 2 x + 2 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{\left(e^{\frac{x}{2}} - 2\right)d x} = - 2 x + 2 e^{\frac{x}{2}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\left(e^{\frac{x}{2}} - 2\right)d x} = - 2 x + 2 e^{\frac{x}{2}}+C$$

$$$\int \left(e^{\frac{x}{2}} - 2\right)\, dx = \left(- 2 x + 2 e^{\frac{x}{2}}\right) + C$$$A