Intégrale de $$$e^{\frac{u}{2}}$$$

Déterminez $$$\int e^{\frac{u}{2}}\, du$$$.

Soit $$$v=\frac{u}{2}$$$.

Alors $$$dv=\left(\frac{u}{2}\right)^{\prime }du = \frac{du}{2}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$du = 2 dv$$$.

Par conséquent,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{u}{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{2 e^{v} d v}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ :

$${\color{red}{\int{2 e^{v} d v}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{v} d v}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$ :

$$2 {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = 2 {\color{red}{e^{v}}}$$

Rappelons que $$$v=\frac{u}{2}$$$ :

$$2 e^{{\color{red}{v}}} = 2 e^{{\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{\frac{u}{2}} d u} = 2 e^{\frac{u}{2}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{\frac{u}{2}} d u} = 2 e^{\frac{u}{2}}+C$$

$$$\int e^{\frac{u}{2}}\, du = 2 e^{\frac{u}{2}} + C$$$A