Intégrale de $$$e^{a x}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int e^{a x}\, dx$$$.

Soit $$$u=a x$$$.

Alors $$$du=\left(a x\right)^{\prime }dx = a dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{a}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{e^{a x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{a} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{a}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{a} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{a}}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{a} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{a}$$

Rappelons que $$$u=a x$$$ :

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{a} = \frac{e^{{\color{red}{a x}}}}{a}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{a x} d x} = \frac{e^{a x}}{a}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{a x} d x} = \frac{e^{a x}}{a}+C$$

$$$\int e^{a x}\, dx = \frac{e^{a x}}{a} + C$$$A