Intégrale de $$$e^{5 t}$$$

Déterminez $$$\int e^{5 t}\, dt$$$.

Soit $$$u=5 t$$$.

Alors $$$du=\left(5 t\right)^{\prime }dt = 5 dt$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dt = \frac{du}{5}$$$.

Ainsi,

$${\color{red}{\int{e^{5 t} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{5} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{5}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{5} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{5}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{5} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{5}$$

Rappelons que $$$u=5 t$$$ :

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{5} = \frac{e^{{\color{red}{\left(5 t\right)}}}}{5}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{5 t} d t} = \frac{e^{5 t}}{5}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{5 t} d t} = \frac{e^{5 t}}{5}+C$$

$$$\int e^{5 t}\, dt = \frac{e^{5 t}}{5} + C$$$A