Intégrale de $$$e^{4 u}$$$

Déterminez $$$\int e^{4 u}\, du$$$.

Soit $$$v=4 u$$$.

Alors $$$dv=\left(4 u\right)^{\prime }du = 4 du$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$du = \frac{dv}{4}$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{e^{4 u} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{4} d v}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ avec $$$c=\frac{1}{4}$$$ et $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{4} d v}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{v} d v}}{4}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{v} d v}}}}{4} = \frac{{\color{red}{e^{v}}}}{4}$$

Rappelons que $$$v=4 u$$$ :

$$\frac{e^{{\color{red}{v}}}}{4} = \frac{e^{{\color{red}{\left(4 u\right)}}}}{4}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{4 u} d u} = \frac{e^{4 u}}{4}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{4 u} d u} = \frac{e^{4 u}}{4}+C$$

$$$\int e^{4 u}\, du = \frac{e^{4 u}}{4} + C$$$A