Intégrale de $$$\cos{\left(\frac{t}{a} \right)}$$$ par rapport à $$$t$$$

Déterminez $$$\int \cos{\left(\frac{t}{a} \right)}\, dt$$$.

Soit $$$u=\frac{t}{a}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{t}{a}\right)^{\prime }dt = \frac{dt}{a}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dt = a du$$$.

Ainsi,

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{t}{a} \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{a \cos{\left(u \right)} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=a$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{a \cos{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{a \int{\cos{\left(u \right)} d u}}}$$

L’intégrale du cosinus est $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$$a {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = a {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{t}{a}$$$ :

$$a \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = a \sin{\left({\color{red}{\frac{t}{a}}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\cos{\left(\frac{t}{a} \right)} d t} = a \sin{\left(\frac{t}{a} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\cos{\left(\frac{t}{a} \right)} d t} = a \sin{\left(\frac{t}{a} \right)}+C$$

$$$\int \cos{\left(\frac{t}{a} \right)}\, dt = a \sin{\left(\frac{t}{a} \right)} + C$$$A