Intégrale de $$$\frac{1}{\cos^{2}{\left(x y \right)}}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{\cos^{2}{\left(x y \right)}}\, dx$$$.

Soit $$$u=x y$$$.

Alors $$$du=\left(x y\right)^{\prime }dx = y dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{y}$$$.

Ainsi,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(x y \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{y \cos^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{y}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{1}{y \cos^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}} d u}}{y}}}$$

Réécrivez l’intégrande en fonction de la sécante:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}} d u}}}}{y} = \frac{{\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{y}$$

L’intégrale de $$$\sec^{2}{\left(u \right)}$$$ est $$$\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u} = \tan{\left(u \right)}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{y} = \frac{{\color{red}{\tan{\left(u \right)}}}}{y}$$

Rappelons que $$$u=x y$$$ :

$$\frac{\tan{\left({\color{red}{u}} \right)}}{y} = \frac{\tan{\left({\color{red}{x y}} \right)}}{y}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(x y \right)}} d x} = \frac{\tan{\left(x y \right)}}{y}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(x y \right)}} d x} = \frac{\tan{\left(x y \right)}}{y}+C$$

$$$\int \frac{1}{\cos^{2}{\left(x y \right)}}\, dx = \frac{\tan{\left(x y \right)}}{y} + C$$$A