Intégrale de $$$5 \ln\left(t^{2}\right)$$$

Déterminez $$$\int 5 \ln\left(t^{2}\right)\, dt$$$.

L’entrée est réécrite : $$$\int{5 \ln{\left(t^{2} \right)} d t}=\int{10 \ln{\left(t \right)} d t}$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ avec $$$c=10$$$ et $$$f{\left(t \right)} = \ln{\left(t \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{10 \ln{\left(t \right)} d t}}} = {\color{red}{\left(10 \int{\ln{\left(t \right)} d t}\right)}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{\ln{\left(t \right)} d t}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=\ln{\left(t \right)}$$$ et $$$\operatorname{dv}=dt$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(t \right)}\right)^{\prime }dt=\frac{dt}{t}$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{1 d t}=t$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

Ainsi,

$$10 {\color{red}{\int{\ln{\left(t \right)} d t}}}=10 {\color{red}{\left(\ln{\left(t \right)} \cdot t-\int{t \cdot \frac{1}{t} d t}\right)}}=10 {\color{red}{\left(t \ln{\left(t \right)} - \int{1 d t}\right)}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, dt = c t$$$ avec $$$c=1$$$:

$$10 t \ln{\left(t \right)} - 10 {\color{red}{\int{1 d t}}} = 10 t \ln{\left(t \right)} - 10 {\color{red}{t}}$$

Par conséquent,

$$\int{10 \ln{\left(t \right)} d t} = 10 t \ln{\left(t \right)} - 10 t$$

Simplifier:

$$\int{10 \ln{\left(t \right)} d t} = 10 t \left(\ln{\left(t \right)} - 1\right)$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{10 \ln{\left(t \right)} d t} = 10 t \left(\ln{\left(t \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int 5 \ln\left(t^{2}\right)\, dt = 10 t \left(\ln\left(t\right) - 1\right) + C$$$A