Intégrale de $$$45 e^{- \frac{t}{20}}$$$

Déterminez $$$\int 45 e^{- \frac{t}{20}}\, dt$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ avec $$$c=45$$$ et $$$f{\left(t \right)} = e^{- \frac{t}{20}}$$$ :

$${\color{red}{\int{45 e^{- \frac{t}{20}} d t}}} = {\color{red}{\left(45 \int{e^{- \frac{t}{20}} d t}\right)}}$$

Soit $$$u=- \frac{t}{20}$$$.

Alors $$$du=\left(- \frac{t}{20}\right)^{\prime }dt = - \frac{dt}{20}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dt = - 20 du$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$$45 {\color{red}{\int{e^{- \frac{t}{20}} d t}}} = 45 {\color{red}{\int{\left(- 20 e^{u}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=-20$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$45 {\color{red}{\int{\left(- 20 e^{u}\right)d u}}} = 45 {\color{red}{\left(- 20 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- 900 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 900 {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=- \frac{t}{20}$$$ :

$$- 900 e^{{\color{red}{u}}} = - 900 e^{{\color{red}{\left(- \frac{t}{20}\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{45 e^{- \frac{t}{20}} d t} = - 900 e^{- \frac{t}{20}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{45 e^{- \frac{t}{20}} d t} = - 900 e^{- \frac{t}{20}}+C$$

$$$\int 45 e^{- \frac{t}{20}}\, dt = - 900 e^{- \frac{t}{20}} + C$$$A