Intégrale de $$$37000 e^{- \frac{9 t}{100}}$$$

Déterminez $$$\int 37000 e^{- \frac{9 t}{100}}\, dt$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ avec $$$c=37000$$$ et $$$f{\left(t \right)} = e^{- \frac{9 t}{100}}$$$ :

$${\color{red}{\int{37000 e^{- \frac{9 t}{100}} d t}}} = {\color{red}{\left(37000 \int{e^{- \frac{9 t}{100}} d t}\right)}}$$

Soit $$$u=- \frac{9 t}{100}$$$.

Alors $$$du=\left(- \frac{9 t}{100}\right)^{\prime }dt = - \frac{9 dt}{100}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dt = - \frac{100 du}{9}$$$.

L’intégrale devient

$$37000 {\color{red}{\int{e^{- \frac{9 t}{100}} d t}}} = 37000 {\color{red}{\int{\left(- \frac{100 e^{u}}{9}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=- \frac{100}{9}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$37000 {\color{red}{\int{\left(- \frac{100 e^{u}}{9}\right)d u}}} = 37000 {\color{red}{\left(- \frac{100 \int{e^{u} d u}}{9}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- \frac{3700000 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{9} = - \frac{3700000 {\color{red}{e^{u}}}}{9}$$

Rappelons que $$$u=- \frac{9 t}{100}$$$ :

$$- \frac{3700000 e^{{\color{red}{u}}}}{9} = - \frac{3700000 e^{{\color{red}{\left(- \frac{9 t}{100}\right)}}}}{9}$$

Par conséquent,

$$\int{37000 e^{- \frac{9 t}{100}} d t} = - \frac{3700000 e^{- \frac{9 t}{100}}}{9}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{37000 e^{- \frac{9 t}{100}} d t} = - \frac{3700000 e^{- \frac{9 t}{100}}}{9}+C$$

$$$\int 37000 e^{- \frac{9 t}{100}}\, dt = - \frac{3700000 e^{- \frac{9 t}{100}}}{9} + C$$$A