Intégrale de $$$\frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}\, dx$$$.

Soit $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$.

Alors $$$x=\operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$ et $$$dx=\left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \frac{du}{u^{2} + 1}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

Donc,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u \left(u^{2} + 1\right)} d u}}}$$

Soit $$$v=u^{2} + 1$$$.

Alors $$$dv=\left(u^{2} + 1\right)^{\prime }du = 2 u du$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$u du = \frac{dv}{2}$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u \left(u^{2} + 1\right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 v \left(v - 1\right)} d v}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v \left(v - 1\right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 v \left(v - 1\right)} d v}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v \left(v - 1\right)} d v}}{2}\right)}}$$

Effectuer la décomposition en fractions partielles (les étapes peuvent être vues »):

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v \left(v - 1\right)} d v}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{1}{v - 1} - \frac{1}{v}\right)d v}}}}{2}$$

Intégrez terme à terme:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{1}{v - 1} - \frac{1}{v}\right)d v}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{v} d v} + \int{\frac{1}{v - 1} d v}\right)}}}{2}$$

Soit $$$w=v - 1$$$.

Alors $$$dw=\left(v - 1\right)^{\prime }dv = 1 dv$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dv = dw$$$.

L’intégrale devient

$$- \frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v - 1} d v}}}}{2} = - \frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{w} d w}}}}{2}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{w}$$$ est $$$\int{\frac{1}{w} d w} = \ln{\left(\left|{w}\right| \right)}$$$ :

$$- \frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{w} d w}}}}{2} = - \frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{w}\right| \right)}}}}{2}$$

Rappelons que $$$w=v - 1$$$ :

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{w}}}\right| \right)}}{2} - \frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(v - 1\right)}}}\right| \right)}}{2} - \frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{v}$$$ est $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$ :

$$\frac{\ln{\left(\left|{v - 1}\right| \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{v - 1}\right| \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2}$$

Rappelons que $$$v=u^{2} + 1$$$ :

$$\frac{\ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{\left(u^{2} + 1\right)}}}\right| \right)}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u^{2} + 1\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

Rappelons que $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$ :

$$- \frac{\ln{\left(1 + {\color{red}{u}}^{2} \right)}}{2} + \frac{\ln{\left({\color{red}{u}}^{2} \right)}}{2} = - \frac{\ln{\left(1 + {\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}^{2} \right)}}{2} + \frac{\ln{\left({\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}^{2} \right)}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} d x} = - \frac{\ln{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \frac{\ln{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2}$$

Simplifier:

$$\int{\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} d x} = - \frac{\ln{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \ln{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} d x} = - \frac{\ln{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \ln{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}\, dx = \left(- \frac{\ln\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{2} + \ln\left(\tan{\left(x \right)}\right)\right) + C$$$A