Intégrale de $$$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}\, dx$$$.

Soit $$$u=\frac{1}{x}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$.

Ainsi,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u}\right)}}$$

Soit $$$u=\sin{\left(v \right)}$$$.

Alors $$$du=\left(\sin{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = \cos{\left(v \right)} dv$$$ (les étapes peuvent être vues »).

De plus, il s'ensuit que $$$v=\operatorname{asin}{\left(u \right)}$$$.

L’intégrande devient

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - u ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}$$$

Utilisez l'identité $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$ :

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$

En supposant que $$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$, nous obtenons ce qui suit :

$$$\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{1}{\cos{\left( v \right)}}$$$

L’intégrale peut se réécrire sous la forme

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u}}} = - {\color{red}{\int{1 d v}}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, dv = c v$$$ avec $$$c=1$$$:

$$- {\color{red}{\int{1 d v}}} = - {\color{red}{v}}$$

Rappelons que $$$v=\operatorname{asin}{\left(u \right)}$$$ :

$$- {\color{red}{v}} = - {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{1}{x}$$$ :

$$- \operatorname{asin}{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \operatorname{asin}{\left({\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}\, dx = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} + C$$$A