Intégrale de $$$\frac{1}{x^{4} - 1}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{x^{4} - 1}\, dx$$$.

Effectuer la décomposition en fractions partielles (les étapes peuvent être vues »):

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{4} - 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}\right)d x}}}$$

Intégrez terme à terme:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{4 \left(x - 1\right)} d x} - \int{\frac{1}{4 \left(x + 1\right)} d x} - \int{\frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)} d x}\right)}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}$$$ :

$$\int{\frac{1}{4 \left(x - 1\right)} d x} - \int{\frac{1}{4 \left(x + 1\right)} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)} d x}}} = \int{\frac{1}{4 \left(x - 1\right)} d x} - \int{\frac{1}{4 \left(x + 1\right)} d x} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x}}{2}\right)}}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{x^{2} + 1}$$$ est $$$\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x} = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$$ :

$$\int{\frac{1}{4 \left(x - 1\right)} d x} - \int{\frac{1}{4 \left(x + 1\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x}}}}{2} = \int{\frac{1}{4 \left(x - 1\right)} d x} - \int{\frac{1}{4 \left(x + 1\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}}{2}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=\frac{1}{4}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}$$$ :

$$- \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} + \int{\frac{1}{4 \left(x - 1\right)} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{4 \left(x + 1\right)} d x}}} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} + \int{\frac{1}{4 \left(x - 1\right)} d x} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x + 1} d x}}{4}\right)}}$$

Soit $$$u=x + 1$$$.

Alors $$$du=\left(x + 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = du$$$.

Par conséquent,

$$- \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} + \int{\frac{1}{4 \left(x - 1\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x + 1} d x}}}}{4} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} + \int{\frac{1}{4 \left(x - 1\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{4}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ :

$$- \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} + \int{\frac{1}{4 \left(x - 1\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{4} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} + \int{\frac{1}{4 \left(x - 1\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{4}$$

Rappelons que $$$u=x + 1$$$ :

$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} + \int{\frac{1}{4 \left(x - 1\right)} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x + 1\right)}}}\right| \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} + \int{\frac{1}{4 \left(x - 1\right)} d x}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=\frac{1}{4}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$$$ :

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} + {\color{red}{\int{\frac{1}{4 \left(x - 1\right)} d x}}} = - \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x - 1} d x}}{4}\right)}}$$

Soit $$$u=x - 1$$$.

Alors $$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = du$$$.

Donc,

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x - 1} d x}}}}{4} = - \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{4}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ :

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{4} = - \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{4}$$

Rappelons que $$$u=x - 1$$$ :

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{4} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} = - \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{4} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 1\right)}}}\right| \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{x^{4} - 1} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}}{4} - \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{x^{4} - 1} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}}{4} - \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{x^{4} - 1}\, dx = \left(\frac{\ln\left(\left|{x - 1}\right|\right)}{4} - \frac{\ln\left(\left|{x + 1}\right|\right)}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}\right) + C$$$A