Intégrale de $$$\frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx$$$.

Réécrivez le cosinus en utilisant la formule de l’angle double $$$\cos\left(x\right)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1$$$ et simplifiez.:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

Soit $$$u=\frac{x}{2}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = 2 du$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

Réécrivez l’intégrande en fonction de la sécante:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

L’intégrale de $$$\sec^{2}{\left(u \right)}$$$ est $$$\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u} = \tan{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\tan{\left(u \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{x}{2}$$$ :

$$\tan{\left({\color{red}{u}} \right)} = \tan{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1} d x} = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1} d x} = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + C$$$A