Intégrale de $$$- x^{\frac{2}{3}} + x^{2}$$$

Déterminez $$$\int \left(- x^{\frac{2}{3}} + x^{2}\right)\, dx$$$.

Intégrez terme à terme:

$${\color{red}{\int{\left(- x^{\frac{2}{3}} + x^{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{x^{\frac{2}{3}} d x} + \int{x^{2} d x}\right)}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=2$$$ :

$$- \int{x^{\frac{2}{3}} d x} + {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=- \int{x^{\frac{2}{3}} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- \int{x^{\frac{2}{3}} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=\frac{2}{3}$$$ :

$$\frac{x^{3}}{3} - {\color{red}{\int{x^{\frac{2}{3}} d x}}}=\frac{x^{3}}{3} - {\color{red}{\frac{x^{\frac{2}{3} + 1}}{\frac{2}{3} + 1}}}=\frac{x^{3}}{3} - {\color{red}{\left(\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}\right)}}$$

Par conséquent,

$$\int{\left(- x^{\frac{2}{3}} + x^{2}\right)d x} = - \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{x^{3}}{3}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\left(- x^{\frac{2}{3}} + x^{2}\right)d x} = - \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{x^{3}}{3}+C$$

$$$\int \left(- x^{\frac{2}{3}} + x^{2}\right)\, dx = \left(- \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{x^{3}}{3}\right) + C$$$A