Intégrale de $$$\ln\left(z^{2}\right)$$$

Déterminez $$$\int \ln\left(z^{2}\right)\, dz$$$.

L’entrée est réécrite : $$$\int{\ln{\left(z^{2} \right)} d z}=\int{2 \ln{\left(z \right)} d z}$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(z \right)}\, dz = c \int f{\left(z \right)}\, dz$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(z \right)} = \ln{\left(z \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{2 \ln{\left(z \right)} d z}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(z \right)} d z}\right)}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{\ln{\left(z \right)} d z}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=\ln{\left(z \right)}$$$ et $$$\operatorname{dv}=dz$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(z \right)}\right)^{\prime }dz=\frac{dz}{z}$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{1 d z}=z$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

L’intégrale devient

$$2 {\color{red}{\int{\ln{\left(z \right)} d z}}}=2 {\color{red}{\left(\ln{\left(z \right)} \cdot z-\int{z \cdot \frac{1}{z} d z}\right)}}=2 {\color{red}{\left(z \ln{\left(z \right)} - \int{1 d z}\right)}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, dz = c z$$$ avec $$$c=1$$$:

$$2 z \ln{\left(z \right)} - 2 {\color{red}{\int{1 d z}}} = 2 z \ln{\left(z \right)} - 2 {\color{red}{z}}$$

Par conséquent,

$$\int{2 \ln{\left(z \right)} d z} = 2 z \ln{\left(z \right)} - 2 z$$

Simplifier:

$$\int{2 \ln{\left(z \right)} d z} = 2 z \left(\ln{\left(z \right)} - 1\right)$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{2 \ln{\left(z \right)} d z} = 2 z \left(\ln{\left(z \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(z^{2}\right)\, dz = 2 z \left(\ln\left(z\right) - 1\right) + C$$$A