Intégrale de $$$y \sin{\left(x y \right)}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int y \sin{\left(x y \right)}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=y$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x y \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{y \sin{\left(x y \right)} d x}}} = {\color{red}{y \int{\sin{\left(x y \right)} d x}}}$$

Soit $$$u=x y$$$.

Alors $$$du=\left(x y\right)^{\prime }dx = y dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{y}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$$y {\color{red}{\int{\sin{\left(x y \right)} d x}}} = y {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{y} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{y}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$$y {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{y} d u}}} = y {\color{red}{\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{y}}}$$

L’intégrale du sinus est $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=x y$$$ :

$$- \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{x y}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{y \sin{\left(x y \right)} d x} = - \cos{\left(x y \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{y \sin{\left(x y \right)} d x} = - \cos{\left(x y \right)}+C$$

$$$\int y \sin{\left(x y \right)}\, dx = - \cos{\left(x y \right)} + C$$$A