Intégrale de $$$x \sin{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int x \sin{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)}\, dx$$$.

Soit $$$v=- u^{2} + x^{2}$$$.

Alors $$$dv=\left(- u^{2} + x^{2}\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$x dx = \frac{dv}{2}$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{x \sin{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(p \sqrt{v} \right)}}{2} d v}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(v \right)} = \sin{\left(p \sqrt{v} \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(p \sqrt{v} \right)}}{2} d v}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(p \sqrt{v} \right)} d v}}{2}\right)}}$$

Soit $$$w=p \sqrt{v}$$$.

Alors $$$dw=\left(p \sqrt{v}\right)^{\prime }dv = \frac{p}{2 \sqrt{v}} dv$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\frac{dv}{\sqrt{v}} = \frac{2 dw}{p}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(p \sqrt{v} \right)} d v}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{2 w \sin{\left(w \right)}}{p^{2}} d w}}}}{2}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ avec $$$c=\frac{2}{p^{2}}$$$ et $$$f{\left(w \right)} = w \sin{\left(w \right)}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{2 w \sin{\left(w \right)}}{p^{2}} d w}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{2 \int{w \sin{\left(w \right)} d w}}{p^{2}}\right)}}}{2}$$

Pour l’intégrale $$$\int{w \sin{\left(w \right)} d w}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{h} \operatorname{dm} = \operatorname{h}\operatorname{m} - \int \operatorname{m} \operatorname{dh}$$$.

Soient $$$\operatorname{h}=w$$$ et $$$\operatorname{dm}=\sin{\left(w \right)} dw$$$.

Donc $$$\operatorname{dh}=\left(w\right)^{\prime }dw=1 dw$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{m}=\int{\sin{\left(w \right)} d w}=- \cos{\left(w \right)}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

L’intégrale devient

$$\frac{{\color{red}{\int{w \sin{\left(w \right)} d w}}}}{p^{2}}=\frac{{\color{red}{\left(w \cdot \left(- \cos{\left(w \right)}\right)-\int{\left(- \cos{\left(w \right)}\right) \cdot 1 d w}\right)}}}{p^{2}}=\frac{{\color{red}{\left(- w \cos{\left(w \right)} - \int{\left(- \cos{\left(w \right)}\right)d w}\right)}}}{p^{2}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(w \right)} = \cos{\left(w \right)}$$$ :

$$\frac{- w \cos{\left(w \right)} - {\color{red}{\int{\left(- \cos{\left(w \right)}\right)d w}}}}{p^{2}} = \frac{- w \cos{\left(w \right)} - {\color{red}{\left(- \int{\cos{\left(w \right)} d w}\right)}}}{p^{2}}$$

L’intégrale du cosinus est $$$\int{\cos{\left(w \right)} d w} = \sin{\left(w \right)}$$$ :

$$\frac{- w \cos{\left(w \right)} + {\color{red}{\int{\cos{\left(w \right)} d w}}}}{p^{2}} = \frac{- w \cos{\left(w \right)} + {\color{red}{\sin{\left(w \right)}}}}{p^{2}}$$

Rappelons que $$$w=p \sqrt{v}$$$ :

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{w}} \right)} - {\color{red}{w}} \cos{\left({\color{red}{w}} \right)}}{p^{2}} = \frac{\sin{\left({\color{red}{p \sqrt{v}}} \right)} - {\color{red}{p \sqrt{v}}} \cos{\left({\color{red}{p \sqrt{v}}} \right)}}{p^{2}}$$

Rappelons que $$$v=- u^{2} + x^{2}$$$ :

$$\frac{- p \sqrt{{\color{red}{v}}} \cos{\left(p \sqrt{{\color{red}{v}}} \right)} + \sin{\left(p \sqrt{{\color{red}{v}}} \right)}}{p^{2}} = \frac{- p \sqrt{{\color{red}{\left(- u^{2} + x^{2}\right)}}} \cos{\left(p \sqrt{{\color{red}{\left(- u^{2} + x^{2}\right)}}} \right)} + \sin{\left(p \sqrt{{\color{red}{\left(- u^{2} + x^{2}\right)}}} \right)}}{p^{2}}$$

Par conséquent,

$$\int{x \sin{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)} d x} = \frac{- p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \cos{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)} + \sin{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)}}{p^{2}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{x \sin{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)} d x} = \frac{- p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \cos{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)} + \sin{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)}}{p^{2}}+C$$

$$$\int x \sin{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)}\, dx = \frac{- p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \cos{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)} + \sin{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)}}{p^{2}} + C$$$A