Intégrale de $$$x^{5} \sin{\left(4 x^{6} \right)}$$$

Déterminez $$$\int x^{5} \sin{\left(4 x^{6} \right)}\, dx$$$.

Soit $$$u=4 x^{6}$$$.

Alors $$$du=\left(4 x^{6}\right)^{\prime }dx = 24 x^{5} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$x^{5} dx = \frac{du}{24}$$$.

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{x^{5} \sin{\left(4 x^{6} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{24} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{24}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{24} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{24}\right)}}$$

L’intégrale du sinus est $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{24} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{24}$$

Rappelons que $$$u=4 x^{6}$$$ :

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{24} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(4 x^{6}\right)}} \right)}}{24}$$

Par conséquent,

$$\int{x^{5} \sin{\left(4 x^{6} \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(4 x^{6} \right)}}{24}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{x^{5} \sin{\left(4 x^{6} \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(4 x^{6} \right)}}{24}+C$$

$$$\int x^{5} \sin{\left(4 x^{6} \right)}\, dx = - \frac{\cos{\left(4 x^{6} \right)}}{24} + C$$$A