Intégrale de $$$x^{2} e^{- 3 x}$$$

Déterminez $$$\int x^{2} e^{- 3 x}\, dx$$$.

Pour l’intégrale $$$\int{x^{2} e^{- 3 x} d x}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ et $$$\operatorname{dv}=e^{- 3 x} dx$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 3 x} d x}=- \frac{e^{- 3 x}}{3}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

Par conséquent,

$${\color{red}{\int{x^{2} e^{- 3 x} d x}}}={\color{red}{\left(x^{2} \cdot \left(- \frac{e^{- 3 x}}{3}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 3 x}}{3}\right) \cdot 2 x d x}\right)}}={\color{red}{\left(- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \int{\left(- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3}\right)d x}\right)}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=- \frac{2}{3}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x e^{- 3 x}$$$ :

$$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3}\right)d x}}} = - \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - {\color{red}{\left(- \frac{2 \int{x e^{- 3 x} d x}}{3}\right)}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{x e^{- 3 x} d x}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=x$$$ et $$$\operatorname{dv}=e^{- 3 x} dx$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 3 x} d x}=- \frac{e^{- 3 x}}{3}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

Par conséquent,

$$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\int{x e^{- 3 x} d x}}}}{3}=- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\left(x \cdot \left(- \frac{e^{- 3 x}}{3}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 3 x}}{3}\right) \cdot 1 d x}\right)}}}{3}=- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\left(- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int{\left(- \frac{e^{- 3 x}}{3}\right)d x}\right)}}}{3}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=- \frac{1}{3}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = e^{- 3 x}$$$ :

$$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} - \frac{2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{- 3 x}}{3}\right)d x}}}}{3} = - \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} - \frac{2 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{- 3 x} d x}}{3}\right)}}}{3}$$

Soit $$$u=- 3 x$$$.

Alors $$$du=\left(- 3 x\right)^{\prime }dx = - 3 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = - \frac{du}{3}$$$.

L’intégrale devient

$$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\int{e^{- 3 x} d x}}}}{9} = - \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{3}\right)d u}}}}{9}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=- \frac{1}{3}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{3}\right)d u}}}}{9} = - \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{3}\right)}}}{9}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} - \frac{2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{27} = - \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} - \frac{2 {\color{red}{e^{u}}}}{27}$$

Rappelons que $$$u=- 3 x$$$ :

$$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} - \frac{2 e^{{\color{red}{u}}}}{27} = - \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} - \frac{2 e^{{\color{red}{\left(- 3 x\right)}}}}{27}$$

Par conséquent,

$$\int{x^{2} e^{- 3 x} d x} = - \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} - \frac{2 e^{- 3 x}}{27}$$

Simplifier:

$$\int{x^{2} e^{- 3 x} d x} = \frac{\left(- 9 x^{2} - 6 x - 2\right) e^{- 3 x}}{27}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{x^{2} e^{- 3 x} d x} = \frac{\left(- 9 x^{2} - 6 x - 2\right) e^{- 3 x}}{27}+C$$

$$$\int x^{2} e^{- 3 x}\, dx = \frac{\left(- 9 x^{2} - 6 x - 2\right) e^{- 3 x}}{27} + C$$$A