Intégrale de $$$x^{2} \left(4 - x^{2}\right)$$$

Déterminez $$$\int x^{2} \left(4 - x^{2}\right)\, dx$$$.

Expand the expression:

$${\color{red}{\int{x^{2} \left(4 - x^{2}\right) d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- x^{4} + 4 x^{2}\right)d x}}}$$

Intégrez terme à terme:

$${\color{red}{\int{\left(- x^{4} + 4 x^{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{4 x^{2} d x} - \int{x^{4} d x}\right)}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=4$$$ :

$$\int{4 x^{2} d x} - {\color{red}{\int{x^{4} d x}}}=\int{4 x^{2} d x} - {\color{red}{\frac{x^{1 + 4}}{1 + 4}}}=\int{4 x^{2} d x} - {\color{red}{\left(\frac{x^{5}}{5}\right)}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=4$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$ :

$$- \frac{x^{5}}{5} + {\color{red}{\int{4 x^{2} d x}}} = - \frac{x^{5}}{5} + {\color{red}{\left(4 \int{x^{2} d x}\right)}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=2$$$ :

$$- \frac{x^{5}}{5} + 4 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=- \frac{x^{5}}{5} + 4 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- \frac{x^{5}}{5} + 4 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

Par conséquent,

$$\int{x^{2} \left(4 - x^{2}\right) d x} = - \frac{x^{5}}{5} + \frac{4 x^{3}}{3}$$

Simplifier:

$$\int{x^{2} \left(4 - x^{2}\right) d x} = \frac{x^{3} \left(20 - 3 x^{2}\right)}{15}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{x^{2} \left(4 - x^{2}\right) d x} = \frac{x^{3} \left(20 - 3 x^{2}\right)}{15}+C$$

$$$\int x^{2} \left(4 - x^{2}\right)\, dx = \frac{x^{3} \left(20 - 3 x^{2}\right)}{15} + C$$$A