Intégrale de $$$\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\, dx$$$.

Soit $$$u=x^{2} + 1$$$.

Alors $$$du=\left(x^{2} + 1\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$x dx = \frac{du}{2}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u^{2}} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}{2}\right)}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=-2$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}}{2}$$

Rappelons que $$$u=x^{2} + 1$$$ :

$$- \frac{{\color{red}{u}}^{-1}}{2} = - \frac{{\color{red}{\left(x^{2} + 1\right)}}^{-1}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x} = - \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)}$$

Simplifier:

$$\int{\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x} = - \frac{1}{2 x^{2} + 2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x} = - \frac{1}{2 x^{2} + 2}+C$$

$$$\int \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2} + 2} + C$$$A