Intégrale de $$$\frac{x}{2 x^{2} - 1}$$$

Déterminez $$$\int \frac{x}{2 x^{2} - 1}\, dx$$$.

Soit $$$u=2 x^{2} - 1$$$.

Alors $$$du=\left(2 x^{2} - 1\right)^{\prime }dx = 4 x dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$x dx = \frac{du}{4}$$$.

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{\frac{x}{2 x^{2} - 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{4 u} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{4}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{1}{4 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{4}\right)}}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{4}$$

Rappelons que $$$u=2 x^{2} - 1$$$ :

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{4} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(2 x^{2} - 1\right)}}}\right| \right)}}{4}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{x}{2 x^{2} - 1} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{2 x^{2} - 1}\right| \right)}}{4}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{x}{2 x^{2} - 1} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{2 x^{2} - 1}\right| \right)}}{4}+C$$

$$$\int \frac{x}{2 x^{2} - 1}\, dx = \frac{\ln\left(\left|{2 x^{2} - 1}\right|\right)}{4} + C$$$A