Intégrale de $$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$$$.

Réécrivez l'intégrande:

$${\color{red}{\int{\frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} d x}}}$$

Soit $$$u=\sec{\left(x \right)}$$$.

Alors $$$du=\left(\sec{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx = du$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, du = c u$$$ avec $$$c=1$$$:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

Rappelons que $$$u=\sec{\left(x \right)}$$$ :

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\sec{\left(x \right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} d x} = \sec{\left(x \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} d x} = \sec{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx = \sec{\left(x \right)} + C$$$A