Intégrale de $$$\tan^{3}{\left(2 \pi x \right)}$$$

Déterminez $$$\int \tan^{3}{\left(2 \pi x \right)}\, dx$$$.

Soit $$$u=2 \pi x$$$.

Alors $$$du=\left(2 \pi x\right)^{\prime }dx = 2 \pi dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{2 \pi}$$$.

Ainsi,

$${\color{red}{\int{\tan^{3}{\left(2 \pi x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\tan^{3}{\left(u \right)}}{2 \pi} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{2 \pi}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \tan^{3}{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{\tan^{3}{\left(u \right)}}{2 \pi} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\tan^{3}{\left(u \right)} d u}}{2 \pi}\right)}}$$

Soit $$$v=\tan{\left(u \right)}$$$.

Alors $$$u=\operatorname{atan}{\left(v \right)}$$$ et $$$du=\left(\operatorname{atan}{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = \frac{dv}{v^{2} + 1}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

Donc,

$$\frac{{\color{red}{\int{\tan^{3}{\left(u \right)} d u}}}}{2 \pi} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{v^{3}}{v^{2} + 1} d v}}}}{2 \pi}$$

Puisque le degré du numérateur n’est pas inférieur à celui du dénominateur, effectuez la division euclidienne des polynômes (voir les étapes »):

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{v^{3}}{v^{2} + 1} d v}}}}{2 \pi} = \frac{{\color{red}{\int{\left(v - \frac{v}{v^{2} + 1}\right)d v}}}}{2 \pi}$$

Intégrez terme à terme:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(v - \frac{v}{v^{2} + 1}\right)d v}}}}{2 \pi} = \frac{{\color{red}{\left(\int{v d v} - \int{\frac{v}{v^{2} + 1} d v}\right)}}}{2 \pi}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=1$$$ :

$$\frac{- \int{\frac{v}{v^{2} + 1} d v} + {\color{red}{\int{v d v}}}}{2 \pi}=\frac{- \int{\frac{v}{v^{2} + 1} d v} + {\color{red}{\frac{v^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{2 \pi}=\frac{- \int{\frac{v}{v^{2} + 1} d v} + {\color{red}{\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}}}{2 \pi}$$

Soit $$$w=v^{2} + 1$$$.

Alors $$$dw=\left(v^{2} + 1\right)^{\prime }dv = 2 v dv$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$v dv = \frac{dw}{2}$$$.

Par conséquent,

$$\frac{\frac{v^{2}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{v}{v^{2} + 1} d v}}}}{2 \pi} = \frac{\frac{v^{2}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 w} d w}}}}{2 \pi}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(w \right)} = \frac{1}{w}$$$ :

$$\frac{\frac{v^{2}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 w} d w}}}}{2 \pi} = \frac{\frac{v^{2}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{w} d w}}{2}\right)}}}{2 \pi}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{w}$$$ est $$$\int{\frac{1}{w} d w} = \ln{\left(\left|{w}\right| \right)}$$$ :

$$\frac{\frac{v^{2}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{w} d w}}}}{2}}{2 \pi} = \frac{\frac{v^{2}}{2} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{w}\right| \right)}}}}{2}}{2 \pi}$$

Rappelons que $$$w=v^{2} + 1$$$ :

$$\frac{\frac{v^{2}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{w}}}\right| \right)}}{2}}{2 \pi} = \frac{\frac{v^{2}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(v^{2} + 1\right)}}}\right| \right)}}{2}}{2 \pi}$$

Rappelons que $$$v=\tan{\left(u \right)}$$$ :

$$\frac{- \frac{\ln{\left(1 + {\color{red}{v}}^{2} \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{v}}^{2}}{2}}{2 \pi} = \frac{- \frac{\ln{\left(1 + {\color{red}{\tan{\left(u \right)}}}^{2} \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\tan{\left(u \right)}}}^{2}}{2}}{2 \pi}$$

Rappelons que $$$u=2 \pi x$$$ :

$$\frac{- \frac{\ln{\left(1 + \tan^{2}{\left({\color{red}{u}} \right)} \right)}}{2} + \frac{\tan^{2}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2}}{2 \pi} = \frac{- \frac{\ln{\left(1 + \tan^{2}{\left({\color{red}{\left(2 \pi x\right)}} \right)} \right)}}{2} + \frac{\tan^{2}{\left({\color{red}{\left(2 \pi x\right)}} \right)}}{2}}{2 \pi}$$

Par conséquent,

$$\int{\tan^{3}{\left(2 \pi x \right)} d x} = \frac{- \frac{\ln{\left(\tan^{2}{\left(2 \pi x \right)} + 1 \right)}}{2} + \frac{\tan^{2}{\left(2 \pi x \right)}}{2}}{2 \pi}$$

Simplifier:

$$\int{\tan^{3}{\left(2 \pi x \right)} d x} = \frac{- \ln{\left(\tan^{2}{\left(2 \pi x \right)} + 1 \right)} + \tan^{2}{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\tan^{3}{\left(2 \pi x \right)} d x} = \frac{- \ln{\left(\tan^{2}{\left(2 \pi x \right)} + 1 \right)} + \tan^{2}{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}+C$$

$$$\int \tan^{3}{\left(2 \pi x \right)}\, dx = \frac{- \ln\left(\tan^{2}{\left(2 \pi x \right)} + 1\right) + \tan^{2}{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi} + C$$$A