Intégrale de $$$t \ln\left(t\right)$$$

Déterminez $$$\int t \ln\left(t\right)\, dt$$$.

Pour l’intégrale $$$\int{t \ln{\left(t \right)} d t}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=\ln{\left(t \right)}$$$ et $$$\operatorname{dv}=t dt$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(t \right)}\right)^{\prime }dt=\frac{dt}{t}$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{t d t}=\frac{t^{2}}{2}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{t \ln{\left(t \right)} d t}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(t \right)} \cdot \frac{t^{2}}{2}-\int{\frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{1}{t} d t}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{t^{2} \ln{\left(t \right)}}{2} - \int{\frac{t}{2} d t}\right)}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(t \right)} = t$$$ :

$$\frac{t^{2} \ln{\left(t \right)}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{t}{2} d t}}} = \frac{t^{2} \ln{\left(t \right)}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{\int{t d t}}{2}\right)}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=1$$$ :

$$\frac{t^{2} \ln{\left(t \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{t d t}}}}{2}=\frac{t^{2} \ln{\left(t \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\frac{t^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{2}=\frac{t^{2} \ln{\left(t \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{t^{2}}{2}\right)}}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{t \ln{\left(t \right)} d t} = \frac{t^{2} \ln{\left(t \right)}}{2} - \frac{t^{2}}{4}$$

Simplifier:

$$\int{t \ln{\left(t \right)} d t} = \frac{t^{2} \left(2 \ln{\left(t \right)} - 1\right)}{4}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{t \ln{\left(t \right)} d t} = \frac{t^{2} \left(2 \ln{\left(t \right)} - 1\right)}{4}+C$$

$$$\int t \ln\left(t\right)\, dt = \frac{t^{2} \left(2 \ln\left(t\right) - 1\right)}{4} + C$$$A