Intégrale de $$$\sqrt{\frac{x}{1 - x}}$$$

Déterminez $$$\int \sqrt{\frac{x}{1 - x}}\, dx$$$.

L’entrée est réécrite : $$$\int{\sqrt{\frac{x}{1 - x}} d x}=\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - x}} d x}$$$.

Soit $$$u=\sqrt{x}$$$.

Alors $$$du=\left(\sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 u^{2}}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{u^{2}}{\sqrt{1 - u^{2}}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{2 u^{2}}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{u^{2}}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u}\right)}}$$

Soit $$$u=\sin{\left(v \right)}$$$.

Alors $$$du=\left(\sin{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = \cos{\left(v \right)} dv$$$ (les étapes peuvent être vues »).

De plus, il s'ensuit que $$$v=\operatorname{asin}{\left(u \right)}$$$.

Donc,

$$$\frac{ u ^{2}}{\sqrt{1 - u ^{2}}} = \frac{\sin^{2}{\left( v \right)}}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}$$$

Utilisez l'identité $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$ :

$$$\frac{\sin^{2}{\left( v \right)}}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{\sin^{2}{\left( v \right)}}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$

En supposant que $$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$, nous obtenons ce qui suit :

$$$\frac{\sin^{2}{\left( v \right)}}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{\sin^{2}{\left( v \right)}}{\cos{\left( v \right)}}$$$

Donc,

$$2 {\color{red}{\int{\frac{u^{2}}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\sin^{2}{\left(v \right)} d v}}}$$

Appliquer la formule de réduction de puissance $$$\sin^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2}$$$ avec $$$\alpha= v $$$:

$$2 {\color{red}{\int{\sin^{2}{\left(v \right)} d v}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 v \right)}}{2}\right)d v}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(v \right)} = 1 - \cos{\left(2 v \right)}$$$ :

$$2 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 v \right)}}{2}\right)d v}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(1 - \cos{\left(2 v \right)}\right)d v}}{2}\right)}}$$

Intégrez terme à terme:

$${\color{red}{\int{\left(1 - \cos{\left(2 v \right)}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d v} - \int{\cos{\left(2 v \right)} d v}\right)}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, dv = c v$$$ avec $$$c=1$$$:

$$- \int{\cos{\left(2 v \right)} d v} + {\color{red}{\int{1 d v}}} = - \int{\cos{\left(2 v \right)} d v} + {\color{red}{v}}$$

Soit $$$w=2 v$$$.

Alors $$$dw=\left(2 v\right)^{\prime }dv = 2 dv$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dv = \frac{dw}{2}$$$.

Donc,

$$v - {\color{red}{\int{\cos{\left(2 v \right)} d v}}} = v - {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(w \right)}}{2} d w}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(w \right)} = \cos{\left(w \right)}$$$ :

$$v - {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(w \right)}}{2} d w}}} = v - {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(w \right)} d w}}{2}\right)}}$$

L’intégrale du cosinus est $$$\int{\cos{\left(w \right)} d w} = \sin{\left(w \right)}$$$ :

$$v - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(w \right)} d w}}}}{2} = v - \frac{{\color{red}{\sin{\left(w \right)}}}}{2}$$

Rappelons que $$$w=2 v$$$ :

$$v - \frac{\sin{\left({\color{red}{w}} \right)}}{2} = v - \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 v\right)}} \right)}}{2}$$

Rappelons que $$$v=\operatorname{asin}{\left(u \right)}$$$ :

$$- \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{v}} \right)}}{2} + {\color{red}{v}} = - \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}} \right)}}{2} + {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=\sqrt{x}$$$ :

$$- \frac{\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left({\color{red}{u}} \right)} \right)}}{2} + \operatorname{asin}{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \frac{\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left({\color{red}{\sqrt{x}}} \right)} \right)}}{2} + \operatorname{asin}{\left({\color{red}{\sqrt{x}}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - x}} d x} = - \frac{\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{2} + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}$$

En utilisant les formules $$$\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{1 - \alpha^{2}}$$$, $$$\sin{\left(2 \operatorname{acos}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{1 - \alpha^{2}}$$$, $$$\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\alpha \right)} \right)} = 1 - 2 \alpha^{2}$$$, $$$\cos{\left(2 \operatorname{acos}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} - 1$$$, $$$\sinh{\left(2 \operatorname{asinh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{\alpha^{2} + 1}$$$, $$$\sinh{\left(2 \operatorname{acosh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{\alpha - 1} \sqrt{\alpha + 1}$$$, $$$\cosh{\left(2 \operatorname{asinh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} + 1$$$, $$$\cosh{\left(2 \operatorname{acosh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} - 1$$$, simplifiez l'expression :

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - x}} d x} = - \sqrt{x} \sqrt{1 - x} + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - x}} d x} = - \sqrt{x} \sqrt{1 - x} + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}+C$$

$$$\int \sqrt{\frac{x}{1 - x}}\, dx = \left(- \sqrt{x} \sqrt{1 - x} + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) + C$$$A