Intégrale de $$$\sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(4 x \right)}$$$

Déterminez $$$\int \sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(4 x \right)}\, dx$$$.

Réécrivez l'intégrande en utilisant la formule $$$\sin\left(\alpha \right)\sin\left(\beta \right)=\frac{1}{2} \cos\left(\alpha-\beta \right)-\frac{1}{2} \cos\left(\alpha+\beta \right)$$$ avec $$$\alpha=3 x$$$ et $$$\beta=4 x$$$:

$${\color{red}{\int{\sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(4 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{2}\right)d x}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(7 x \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(x \right)} - \cos{\left(7 x \right)}\right)d x}}{2}\right)}}$$

Intégrez terme à terme:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(x \right)} - \cos{\left(7 x \right)}\right)d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\int{\cos{\left(x \right)} d x} - \int{\cos{\left(7 x \right)} d x}\right)}}}{2}$$

Soit $$$u=7 x$$$.

Alors $$$du=\left(7 x\right)^{\prime }dx = 7 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{7}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$$\frac{\int{\cos{\left(x \right)} d x}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(7 x \right)} d x}}}}{2} = \frac{\int{\cos{\left(x \right)} d x}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{7} d u}}}}{2}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{7}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ :

$$\frac{\int{\cos{\left(x \right)} d x}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{7} d u}}}}{2} = \frac{\int{\cos{\left(x \right)} d x}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{7}\right)}}}{2}$$

L’intégrale du cosinus est $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$$\frac{\int{\cos{\left(x \right)} d x}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{14} = \frac{\int{\cos{\left(x \right)} d x}}{2} - \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{14}$$

Rappelons que $$$u=7 x$$$ :

$$\frac{\int{\cos{\left(x \right)} d x}}{2} - \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{14} = \frac{\int{\cos{\left(x \right)} d x}}{2} - \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(7 x\right)}} \right)}}{14}$$

L’intégrale du cosinus est $$$\int{\cos{\left(x \right)} d x} = \sin{\left(x \right)}$$$ :

$$- \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{14} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(x \right)} d x}}}}{2} = - \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{14} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(x \right)}}}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{\sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(4 x \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{14}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(4 x \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{14}+C$$

$$$\int \sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(4 x \right)}\, dx = \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{14}\right) + C$$$A