Intégrale de $$$\sin{\left(x y \right)}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int \sin{\left(x y \right)}\, dx$$$.

Soit $$$u=x y$$$.

Alors $$$du=\left(x y\right)^{\prime }dx = y dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{y}$$$.

Par conséquent,

$${\color{red}{\int{\sin{\left(x y \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{y} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{y}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{y} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{y}}}$$

L’intégrale du sinus est $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{y} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{y}$$

Rappelons que $$$u=x y$$$ :

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{y} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{x y}} \right)}}{y}$$

Par conséquent,

$$\int{\sin{\left(x y \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(x y \right)}}{y}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\sin{\left(x y \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(x y \right)}}{y}+C$$

$$$\int \sin{\left(x y \right)}\, dx = - \frac{\cos{\left(x y \right)}}{y} + C$$$A