Intégrale de $$$\frac{\sin{\left(2 z \right)}}{z}$$$

Déterminez $$$\int \frac{\sin{\left(2 z \right)}}{z}\, dz$$$.

Soit $$$u=2 z$$$.

Alors $$$du=\left(2 z\right)^{\prime }dz = 2 dz$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dz = \frac{du}{2}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(2 z \right)}}{z} d z}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}$$

Cette intégrale (Intégrale sinus) n’admet pas de forme fermée :

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=2 z$$$ :

$$\operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Si}{\left({\color{red}{\left(2 z\right)}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{\sin{\left(2 z \right)}}{z} d z} = \operatorname{Si}{\left(2 z \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{\sin{\left(2 z \right)}}{z} d z} = \operatorname{Si}{\left(2 z \right)}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(2 z \right)}}{z}\, dz = \operatorname{Si}{\left(2 z \right)} + C$$$A