Intégrale de $$$\sin{\left(\frac{x}{y} \right)}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int \sin{\left(\frac{x}{y} \right)}\, dx$$$.

Soit $$$u=\frac{x}{y}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{y}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = y du$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{\sin{\left(\frac{x}{y} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{y \sin{\left(u \right)} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=y$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{y \sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{y \int{\sin{\left(u \right)} d u}}}$$

L’intégrale du sinus est $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$ :

$$y {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = y {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{x}{y}$$$ :

$$- y \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - y \cos{\left({\color{red}{\frac{x}{y}}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\sin{\left(\frac{x}{y} \right)} d x} = - y \cos{\left(\frac{x}{y} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\sin{\left(\frac{x}{y} \right)} d x} = - y \cos{\left(\frac{x}{y} \right)}+C$$

$$$\int \sin{\left(\frac{x}{y} \right)}\, dx = - y \cos{\left(\frac{x}{y} \right)} + C$$$A