Intégrale de $$$\sin{\left(\frac{\pi x}{30} \right)}$$$

Déterminez $$$\int \sin{\left(\frac{\pi x}{30} \right)}\, dx$$$.

Soit $$$u=\frac{\pi x}{30}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{\pi x}{30}\right)^{\prime }dx = \frac{\pi}{30} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{30 du}{\pi}$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{\sin{\left(\frac{\pi x}{30} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{30 \sin{\left(u \right)}}{\pi} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{30}{\pi}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{30 \sin{\left(u \right)}}{\pi} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{30 \int{\sin{\left(u \right)} d u}}{\pi}\right)}}$$

L’intégrale du sinus est $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$ :

$$\frac{30 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{\pi} = \frac{30 {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{\pi}$$

Rappelons que $$$u=\frac{\pi x}{30}$$$ :

$$- \frac{30 \cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{\pi} = - \frac{30 \cos{\left({\color{red}{\left(\frac{\pi x}{30}\right)}} \right)}}{\pi}$$

Par conséquent,

$$\int{\sin{\left(\frac{\pi x}{30} \right)} d x} = - \frac{30 \cos{\left(\frac{\pi x}{30} \right)}}{\pi}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\sin{\left(\frac{\pi x}{30} \right)} d x} = - \frac{30 \cos{\left(\frac{\pi x}{30} \right)}}{\pi}+C$$

$$$\int \sin{\left(\frac{\pi x}{30} \right)}\, dx = - \frac{30 \cos{\left(\frac{\pi x}{30} \right)}}{\pi} + C$$$A