Intégrale de $$$\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}\, dx$$$.

Soit $$$u=\frac{x}{k}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{x}{k}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{k}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = k du$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{k \sin{\left(u \right)} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=k$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{k \sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{k \int{\sin{\left(u \right)} d u}}}$$

L’intégrale du sinus est $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$ :

$$k {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = k {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{x}{k}$$$ :

$$- k \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - k \cos{\left({\color{red}{\frac{x}{k}}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)} d x} = - k \cos{\left(\frac{x}{k} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)} d x} = - k \cos{\left(\frac{x}{k} \right)}+C$$

$$$\int \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}\, dx = - k \cos{\left(\frac{x}{k} \right)} + C$$$A