Intégrale de $$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$

Déterminez $$$\int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$$$.

Soit $$$u=\frac{x}{2}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = 2 du$$$.

Ainsi,

$${\color{red}{\int{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \sin{\left(u \right)} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{2 \sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\sin{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

L’intégrale du sinus est $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$ :

$$2 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{x}{2}$$$ :

$$- 2 \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - 2 \cos{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} d x} = - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} d x} = - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+C$$

$$$\int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + C$$$A