Intégrale de $$$\sin{\left(x + y \right)}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int \sin{\left(x + y \right)}\, dx$$$.

Soit $$$u=x + y$$$.

Alors $$$du=\left(x + y\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = du$$$.

Ainsi,

$${\color{red}{\int{\sin{\left(x + y \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}$$

L’intégrale du sinus est $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=x + y$$$ :

$$- \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{\left(x + y\right)}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\sin{\left(x + y \right)} d x} = - \cos{\left(x + y \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\sin{\left(x + y \right)} d x} = - \cos{\left(x + y \right)}+C$$

$$$\int \sin{\left(x + y \right)}\, dx = - \cos{\left(x + y \right)} + C$$$A