Intégrale de $$$\tan^{2}{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}$$$

Déterminez $$$\int \tan^{2}{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}\, dx$$$.

Exprimez la tangente en fonction de la sécante, en utilisant la formule $$$\tan^2\left(x \right)=\sec^2\left(x \right)-1$$$:

$${\color{red}{\int{\tan^{2}{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \sec{\left(x \right)} d x}}}$$

Développez l'expression:

$${\color{red}{\int{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \sec{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\sec^{3}{\left(x \right)} - \sec{\left(x \right)}\right)d x}}}$$

Intégrez terme à terme:

$${\color{red}{\int{\left(\sec^{3}{\left(x \right)} - \sec{\left(x \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\sec{\left(x \right)} d x} + \int{\sec^{3}{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{\sec^{3}{\left(x \right)} d x}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=\sec{\left(x \right)}$$$ et $$$\operatorname{dv}=\sec^{2}{\left(x \right)} dx$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(\sec{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{\sec^{2}{\left(x \right)} d x}=\tan{\left(x \right)}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$$\int{\sec^{3}{\left(x \right)} d x}=\sec{\left(x \right)} \cdot \tan{\left(x \right)}-\int{\tan{\left(x \right)} \cdot \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} d x}=\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} - \int{\tan^{2}{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} d x}$$

Appliquez la formule $$$\tan^{2}{\left(x \right)} = \sec^{2}{\left(x \right)} - 1$$$ :

$$\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} - \int{\tan^{2}{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} d x}=\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} - \int{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \sec{\left(x \right)} d x}$$

Développer :

$$\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} - \int{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \sec{\left(x \right)} d x}=\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} - \int{\left(\sec^{3}{\left(x \right)} - \sec{\left(x \right)}\right)d x}$$

L’intégrale d’une différence est la différence des intégrales :

$$\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} - \int{\left(\sec^{3}{\left(x \right)} - \sec{\left(x \right)}\right)d x}=\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} + \int{\sec{\left(x \right)} d x} - \int{\sec^{3}{\left(x \right)} d x}$$

Ainsi, nous obtenons l’équation linéaire simple suivante par rapport à l’intégrale :

$${\color{red}{\int{\sec^{3}{\left(x \right)} d x}}}=\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} + \int{\sec{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\int{\sec^{3}{\left(x \right)} d x}}}$$

En le résolvant, on obtient que

$$\int{\sec^{3}{\left(x \right)} d x}=\frac{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{2} + \frac{\int{\sec{\left(x \right)} d x}}{2}$$

Par conséquent,

$$- \int{\sec{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\int{\sec^{3}{\left(x \right)} d x}}} = - \int{\sec{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\left(\frac{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{2} + \frac{\int{\sec{\left(x \right)} d x}}{2}\right)}}$$

Réécrivez la sécante sous la forme $$$\sec\left(x\right)=\frac{1}{\cos\left(x\right)}$$$:

$$\frac{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\sec{\left(x \right)} d x}}}}{2} = \frac{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} d x}}}}{2}$$

Réécrivez le cosinus en fonction du sinus à l’aide de la formule $$$\cos\left(x\right)=\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$$$, puis réécrivez le sinus à l’aide de la formule de l’angle double $$$\sin\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$$:

$$\frac{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} d x}}}}{2} = \frac{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}}}{2}$$

Multipliez le numérateur et le dénominateur par $$$\sec^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$$:

$$\frac{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}}}{2} = \frac{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}}}{2}$$

Soit $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$.

Alors $$$du=\left(\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} dx = 2 du$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$$\frac{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}}}{2} = \frac{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ :

$$\frac{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = \frac{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

Rappelons que $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$ :

$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} + \frac{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{2} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}}}\right| \right)}}{2} + \frac{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{\tan^{2}{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{2} + \frac{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\tan^{2}{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{2} + \frac{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \tan^{2}{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}\, dx = \left(- \frac{\ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right|\right)}{2} + \frac{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{2}\right) + C$$$A