Intégrale de $$$s^{2} \sin{\left(x^{2} \right)}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int s^{2} \sin{\left(x^{2} \right)}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=s^{2}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{2} \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{s^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{s^{2} \int{\sin{\left(x^{2} \right)} d x}}}$$

Cette intégrale (Intégrale sinus de Fresnel) n’admet pas de forme fermée :

$$s^{2} {\color{red}{\int{\sin{\left(x^{2} \right)} d x}}} = s^{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}\right)}}$$

Par conséquent,

$$\int{s^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} s^{2} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{s^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} s^{2} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}+C$$

$$$\int s^{2} \sin{\left(x^{2} \right)}\, dx = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} s^{2} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2} + C$$$A