Intégrale de $$$e^{x} \cosh{\left(x \right)}$$$

Déterminez $$$\int e^{x} \cosh{\left(x \right)}\, dx$$$.

Réécrire la fonction hyperbolique en fonction de l’exponentielle:

$${\color{red}{\int{e^{x} \cosh{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}\right) e^{x} d x}}}$$

Simplifier l’intégrande:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}\right) e^{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\left(e^{x} + e^{- x}\right) e^{x}}{2} d x}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \left(e^{x} + e^{- x}\right) e^{x}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{\left(e^{x} + e^{- x}\right) e^{x}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(e^{x} + e^{- x}\right) e^{x} d x}}{2}\right)}}$$

Simplify:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(e^{x} + e^{- x}\right) e^{x} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\left(e^{2 x} + 1\right)d x}}}}{2}$$

Intégrez terme à terme:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(e^{2 x} + 1\right)d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\int{1 d x} + \int{e^{2 x} d x}\right)}}}{2}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, dx = c x$$$ avec $$$c=1$$$:

$$\frac{\int{e^{2 x} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{1 d x}}}}{2} = \frac{\int{e^{2 x} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{x}}}{2}$$

Soit $$$u=2 x$$$.

Alors $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

Par conséquent,

$$\frac{x}{2} + \frac{{\color{red}{\int{e^{2 x} d x}}}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}}}{2}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$\frac{x}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}}{2}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$\frac{x}{2} + \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{4} = \frac{x}{2} + \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{4}$$

Rappelons que $$$u=2 x$$$ :

$$\frac{x}{2} + \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{4} = \frac{x}{2} + \frac{e^{{\color{red}{\left(2 x\right)}}}}{4}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{x} \cosh{\left(x \right)} d x} = \frac{x}{2} + \frac{e^{2 x}}{4}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{x} \cosh{\left(x \right)} d x} = \frac{x}{2} + \frac{e^{2 x}}{4}+C$$

$$$\int e^{x} \cosh{\left(x \right)}\, dx = \left(\frac{x}{2} + \frac{e^{2 x}}{4}\right) + C$$$A