Intégrale de $$$e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}$$$

Déterminez $$$\int e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}\, dx$$$.

Soit $$$u=\sqrt{2} \sqrt{x}$$$.

Alors $$$du=\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = \sqrt{2} du$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{u e^{u} d u}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$.

Soient $$$\operatorname{g}=u$$$ et $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$.

Donc $$$\operatorname{dg}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

Ainsi,

$${\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}={\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}={\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$u e^{u} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = u e^{u} - {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=\sqrt{2} \sqrt{x}$$$ :

$$- e^{{\color{red}{u}}} + {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}} = - e^{{\color{red}{\sqrt{2} \sqrt{x}}}} + {\color{red}{\sqrt{2} \sqrt{x}}} e^{{\color{red}{\sqrt{2} \sqrt{x}}}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x} = \sqrt{2} \sqrt{x} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} - e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}$$

Simplifier:

$$\int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x} = \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x} = \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}+C$$

$$$\int e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}\, dx = \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} + C$$$A